Całkowity konkurs
RE(37) Piatnik
RE(37) Granna





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

 

Zapraszamy do nowego 39. numeru Świata Matematyki, który jest już dostępny w sprzedaży.


W Dzień Dziecka zapraszamy do wspólnej gry Activity od Piatnika czy Farmer z firmy GRANNA. Wspólna praca umysłem daje radość życia.

Drodzy Czytelnicy,
Ostatni nasz konkurs okazał się wyjątkowy.
Czyżby był zbyt skomplikowany?
Otrzymaliśmy tylko kilka odpowiedzi z czego TYLKO dwie okazały się poprawne! Niesamowitym sposobem rozwiązania zaskoczył nas Pan Rober Ciążabka, którego sposób rozumowania publikujemy na łamach 39 numeru Świata Matematyki.
Pozostałym dziękujemy za nadesłane rozwiązania i zapraszamy do wzięcia udziału w kolejnych konkursach.

 

Zamieszczamy propozycję rozwiązań zadań matury rozszerzonej z matematyki.

Uwaga tegoroczni maturzyści!!! Zamieszczamy nasze propozycje rozwiązań zadań otwartych z tegorocznej matury - poziom podstawowy oraz wskazówki do rozwiązania zadań testowych.

Wszystkich zainteresowanych zapraszamy do przeczytania artykułu Wyjątkowa liczba, poświęconego historii liczby pi.

Jako uzupełnienie artykułu o ułamkach ciągłych, który ukaże się w 37. numerze Świata Matematyki zamieszczamy rys historyczny kalendarza gregoriańskiego.
 


Wszystkich zainteresowanych zapraszamy do rozwiązywania ciekawych zadań matematycznych
 prezentowanych na naszej stronie. Raz w tygodniu, a może częściej, dodajemy nowe. Na tej stronie są sukcesywnie umieszczane ich rozwiązania.



Definicja liczb naturalnych.

W podręcznikach szkolnych, trudno jest znaleźć ścisłą matematyczną definicję liczb naturalnych. A jednak każde dziecko wie co to są liczby naturalne,  bo właśnie od liczb naturalnych rozpoczyna się poznawanie matematyki i naukę liczenia. Liczby naturalne to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 17, ..., 117, ..., 1177, ..., 111111117, ... itd. Można wymieniać je bez końca, bo jest ich nieskończenie wiele (ponieważ w matematyce istnieją różne nieskończoności, mówimy dokładniej, że jest ich przeliczalnie wiele).

Na pytanie: co to są liczby naturalne i jak je rozpoznać? uczeń najczęściej słyszy odpowiedź, że są to liczby, które mogą służyć do:  liczenia lub numerowania obiektów.
Liczby naturalne pełnią więc dwie funkcje:
--  mówią, ile elementów jest w danym zbiorze (tzn. określają liczności zbiorów skończonych),
--  mówią, który jest dany element w ciągu (tzn. określają porządek w zbiorach skończonych i przeliczalnych).

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N.

Następnym, bardzo często pojawiającym się pytaniem jest:
Czy zero jest liczbą naturalną?
Wśród matematyków nie ma jednoznacznej umowy, czy zero jest liczbą naturalną, czy nie. Czasem wygodnie jest definiować liczby naturalne z zerem, a innym razem bez zera.
Nasuwa się więc pytanie:

Czy istnieje formalna definicja zbioru liczb naturalnych?
W matematyce niemal wszystkie pojęcia muszą być precyzyjnie zdefiniowane, chyba, że są to tak zwane pojęcia pierwotne. Dlatego istnieją też bardziej formalne definicje liczb naturalnych.
Przedstawimy tu dwie z nich.

Definicja indukcyjna.
Zbiór liczb naturalnych to najmniejszy (w sensie relacji zawierania) zbiór liczbowy spełniający następujące warunki:
--  jeden należy do tego zbioru,
--  jeżeli n należy do tego zbioru, to należy do niego również n+1.
Innymi słowy liczby naturalne są częścią wspólną wszystkich zbiorów liczbowych spełniających oba powyższe warunki.







Najbardziej precyzyjną definicję zbioru liczb naturalnych podał włoski matematyk Giuseppe Peano (1858 – 1932).
Zdefiniował on zbiór liczb naturalnych za pomocą pięciu aksjomatów. Oto one:

1.  Jeden jest liczbą naturalną.

2. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 też jest liczbą naturalną.
Inaczej mówiąc – każda liczba naturalna ma swój następnik, który też jest liczbą naturalną.

3.  Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 nie jest jedynką.
Oznacza to, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną. Nie poprzedza ją żadna inna liczba naturalna.
4.  Jeżeli n i m są liczbami naturalnymi oraz n+1 = m+1, to n = m.
Czyli, dwie różne liczby naturalne mają różne następniki.

5.  Jeżeli 1 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność.

Ten ostatni aksjomat znany jest w matematyce pod nazwą zasada indukcji matematycznej. Po niewielkim przeredagowaniu służy matematykom jako wygodne narzędzie do dowodzenia twierdzeń o ciągach.
 

 

GEOMETRIA W NOWOCZESNEJ SZTUCE.

  

Oto kilka próbek dzieł artystycznych powstałych przy zastosowaniu matematyki i komputera.

 

autor: GHEE BEOM KIM'S. Artysta koreański, mieszka w Sydney Australia





PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom