(45) CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE
(45) SUPER FARMAR GRANNA





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

 

TRÓJKĄT PASCALA

     Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa).

 


     Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta.
     Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb, np. 1 + 3 = 4.

Przekątne

Pierwsza przekątna to oczywiście same „jedynki”, następna przekątna ma liczby naturalne, trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych, tj.: kolejność stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Dodając kolejny wiersz z kropkami i sumując wszystkie punkty, można znaleźć następną liczbę w sekwencji
 


     Czwarta przekątna  ma liczby czworościenne:

 

 Czworościan ma piękną i unikalną właściwość… wszystkie cztery wierzchołki są położone w takiej samej odległości od siebie.

Jest to jedyna bryła Platona (platońska) niezawierająca równoległych płaszczyzn.



Interesujące fakty:

- Posiada 4 płaszczyzny
- Każda płaszczyzna ma 3 krawędzie i stanowi trójkąt równoboczny
- Posiada 6 krawędzi
- Ma 4 wierzchołki, gdzie spotykają się 3 krawędzie

Oraz dla przypomnienia:
Powierzchnia = √3 x (długość krawędzi)²
Objętość = √2/12 x (długość krawędzi)³

Liczbę czworościenną można zrozumieć,  jeżeli wyobrazimy sobie stos kul w kształcie czworościanu. Policzyć trzeba, ile kul potrzeba do zbudowania stosu o danej wysokości.
 

 
- Dla wysokości = 1 potrzebna jest tylko jedna kula.
- Dla wysokości = 2 potrzebne są 4 kule (1 na wierzchu i 3 na spodzie).
- Dla wysokości = 3 potrzeba 10 kul.
- Dla wysokości = 4 potrzeba 20 kul.
Ile potrzeba kul dla wysokości = 5?

     Każdą warstwę w czworościanie kul stanowią liczby trójkątne (1, 3, 6 itd.). Zarówno liczby trójkątne, jak i czworokątne znajdują się na trójkącie Pascala.
     Tabela ukazuje wartości dla początkowych warstw.
 

     n     

 Liczba trójkątna

 Liczba czworokątna

 Wysokość

Ilość kul w warstwie

 Całkowita ilość kul

 1

  1 

 1

 2

 3

 4

 3

 6

 10

 4

 10

 20

 5

 15

 35

 6

 21

 56

 

Liczby parzyste i nieparzyste

Jeżeli oznaczymy oddzielnie liczby parzyste i nieparzyste, to otrzymamy układ podobny do trójkąta Sierpińskiego

 

 
Trójkąt Sierpińskiego – niekończący się układ trójkątów

 

 
Oto jak można utworzyć trójkąt Sierpińskiego:
     1. zacznij od trójkąta
     2. zmniejsz trójkąt o połowę i wstaw kopię w każdy z trzech rogów
     3. powtórz krok 2, aby uzyskać mniejsze trójkąty, itd. w nieskończoność!

 

 

Można użyć dowolnego kształtu:

 

 

Sumy poziome:

 

 Co można zauważyć w sumach poziomych: Czy jest jakiś wzór? Niewiarygodne!
Suma podwaja się w kolejnych wierszach!

 

Ciąg  Fibonacciego

     Ciąg można otrzymać, idąc w górę i na bok i dodając liczby, tak jak pokazano to na ilustracji… otrzymamy ciąg Fibonacciego przez dodanie do siebie dwóch poprzednich liczb.
 

 

Orły i reszki

     Trójkąt Pascala może pokazać wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek, np. można wykonać trzy rzuty monetą, ale jest tylko jedna kombinacja dająca w wyniku trzy orły (OOO), a są trzy kombinacje, które dają 2 orły i jedną reszkę (OOR, ORO, ROO), również są trzy kombinacje dające jednego orła oraz dwie reszki (ORR, ROR, RRO) oraz jedną kombinację na wszystkie trzy reszki (RRR) – stanowi to wzór „1, 3, 3, 1” w trójkącie Pascala!
 

 Rzuty

 Możliwe wyniki (w grupach)

 Trójkąt Pascala

 1

O
R

 1, 1

 2

 OO
OR, RO
RR

 1, 2, 1

 3

 OOO
OOR, ORO, ROO
ORR, ROR, RRO
RRR

 1, 3, 3, 1

 4

 OOOO
OOR, OORO, OROO, ROOO
OORR, OROR, ORRO, ROOR, RORO, RROO
ORRR, RORR, RROR, RRRO
RRRR

 1, 4, 6, 4, 1

 

 itd...

 

 
Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów przy 4 rzutach monetą?

Istnieje 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (lub 4 x 4 = 16) możliwych wyników, a 6 z nich daje dokładnie dwa orły. Czyli prawdopodobieństwo wynosi 6/16 lub 37,5%.

Kombinacje

Trójkąt także pokazuje, jak wiele kombinacji obiektów jest możliwych.

Przykład: Mamy 16 kul. Na ile różnych sposobów można wybrać 3 z nich (pomijając, w jakim porządku się je wybiera)?

Odpowiedź: idź do rzędu 16 (górny rząd to 0), a następnie wzdłuż 3. miejsca w bok i wartość tam zamieszczona jest odpowiedzią – 560. Oto fragment rzędu 16:

1      14      91      364      ...

1      15      105     455     1365     ...

1     16     120     560     1820     4368     ...

Wielomiany

Trójkąt Pascala może także wskazać współczynniki w dwumianowym rozwinięciu:

 

 Potęga

 Rozszerzenia wielomianu

 Trójkąt Pascala

 2

(x+1)² = 1x² + 2x + 1

 1, 2, 1

 3

(x+1)³ = 1x³ + 3x² + 3x + 1 

 1, 3, 3, 1

 4

(x+1) = 1x + 4x³ + 6x² + 4x +1

 1, 4, 6, 4, 1

 

 itd...

 

 

Pierwszych 15 linii

Oto rzędy od  0 do 14 w trójkącie Pascala:
 

 
Chińczycy znali trójkąt Pascala

 

Rysunek nazywa się: „Siedem Mnożących Kwadratów”. Stanowi on stronę tytułową książki
„Chu Shi-Chieh’s” (Lustro Czterech Elementów), napisanej w roku 1303.

 

Quincunx

 

Niezwykła maszyna stworzona przez Sir Francisa Galtona oparta jest na trójkącie Pascala. Zwana jest Quincunx i składa się z kołków.

Kule opadają na pierwszy kołek, a następnie opadają na dno trójkąta, gdzie zbierają się w małych pojemnikach.

Na pierwszy rzut oka wygląda to na chaotyczny proces, ale w rzeczywistości kule zbierają się w uporządkowany stos, w kształcie tzw. standardowego rozkładu – patrz rysunek.

 


Standardowy rozkład

 





PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
Piatnik
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom