Cecha podzielności przez 7

Jeśli liczba n = 10a + b i a - 2b jest podzielne przez 7, to n też jest podzielne przez 7
  

Dowód:
  

Z warunku, że a - 2b jest podzielne przez 7, wynika, że istnieje takie k całkowite, że 
a - 2b = 7k.
Wówczas, a = 7k + 2b.

n  = 10a + b = 10(7k + 2b) + b = 70k + 20b + b = 70k + 21b = 7(10k + 3b).

Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 7, więc cały iloczyn dzieli się przez 7. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 7(10k + 3b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 7.
  

Przykład:
   

Sprawdźmy, czy liczba 19565 jest podzielna przez 7?
  

Rozwiązanie:
  

Ponieważ 19565 = 10 * 1956 + 5, więc a =  1956 i b = 5.
Sprawdzamy, czy a - 2b = 1956 - 2 * 5 jest podzielne przez 7.
1956 - 2 * 5 = 1956 - 10 = 1946.
Możliwe, że niektórzy z czytelników, wiedzą, czy liczba 1946 jest podzielna przez 7. My jednak nie wiemy.
Sprawdzamy, więc, czy 1946 jest podzielna przez 7.
Podobnie jak poprzednio 1946 = 10 * 194 + 6, a więc teraz a = 194, a b = 6.
Powtarzamy poprzednią procedurę:
a - 2b = 194 - 2 * 6 = 194 - 12 = 182.
Sprawdźmy, więc, czy 182 jest podzielne przez 7.
182 = 18 * 10 + 2, czyli a = 18; b = 2.
18 - 2 * 2 = 18 - 4 = 14.
Ponieważ 14 jest podzielne przez 7, więc przez 7 jest podzielne 182.
Ponieważ 182 jest podzielne przez 7, więc jest też podzielne przez 7 liczba 1946.
Z podzielności 1946, wynika podzielność przez 7 liczby 19565.

Odpowiedź:

Liczba 19565 jest podzielna przez 7.

Cecha podzielności przez 11

     

Jeśli liczba n = 10a + b i a - b jest podzielne przez 11, to n też jest podzielne przez 11

   

Dowód:

   

Z warunku, że a - b jest podzielne przez 11, wynika, że istnieje takie k całkowite, że 
a - b = 11k.
Wówczas, a = 11k + b.

n  = 10a + b = 10(11k + b) + b = 110k + 10b + b = 110k + 11b = 11(10k + b).

Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 11, więc cały iloczyn dzieli się przez 11. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 11(10k + b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 11.
  
  

Przykład:

  

Sprawdźmy, czy liczba 19569 jest podzielna przez 11?

  

Rozwiązanie:


  

Ponieważ 19569 = 10 * 1956 + 9, więc a =  1956 i b = 9.
Sprawdzamy, czy a - b = 1956 - 9 jest podzielne przez 11.
1956 - 9 = 1947. 
Sprawdzamy, więc, czy 1947 jest podzielna przez 11.
Podobnie jak poprzednio 1947 = 10 * 194 + 7, a więc teraz a = 194, a b = 7.
Powtarzamy poprzednią procedurę:
a - b = 194 - 7 = 187.
Sprawdźmy, więc, czy 187 jest podzielne przez11.
187 = 18 * 10 + 7, czyli a = 18; b = 7.
18 - 7 = 11.
Ponieważ 11 jest podzielne przez 11, więc przez 11 jest podzielne 187.
Ponieważ 187 jest podzielne przez 11, więc jest też podzielna przez 11 liczba 1947.
Z podzielności  przez 11 liczby 1947, wynika podzielność przez 11 liczby 19569.

Odpowiedź:

Liczba 19569 jest podzielna przez 11.

Cecha podzielności przez 13

Jeśli liczba n = 10a + b i a + 4b jest podzielne przez 13, to n też jest podzielne przez 13

    

Dowód:

Z warunku, że a + 4b jest podzielne przez 13, wynika, że istnieje takie k całkowite, że 
a + 4b = 13k.
Wówczas, a = 13k - 4b.

n  = 10a + b = 10(13k - 4b) + b = 130k - 40b + b = 130k - 39b = 13(10k - 3b).

Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 13, więc cały iloczyn dzieli się przez 13. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 13(10k - 3b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 13.

Przykład:

     

Sprawdźmy, czy liczba 19565 jest podzielna przez 13?

   

Rozwiązanie:

   

Ponieważ 19565 = 10 * 1956 + 5, więc a =  1956 i b = 5.
Sprawdzamy, czy a + 4b = 1956 + 20 jest podzielne przez 13.
1956 + 20 = 1976. 
Sprawdzamy, więc, czy 1976 jest podzielna przez 13.
Podobnie jak poprzednio 1976 = 10 * 197 + 6, a więc teraz a = 197, a b = 6.
Powtarzamy poprzednią procedurę:
a + 4b = 197 + 24 = 221.
Sprawdźmy, więc, czy 221 jest podzielne przez13.
221 = 22 * 10 + 1, czyli a = 22; b = 1.
22 + 4 = 26.
Ponieważ 26 jest podzielne przez 13, więc przez 13 jest podzielne 221.
Ponieważ 221 jest podzielne przez 13, więc jest też podzielna przez 13 liczba 1976.
Z podzielności  przez 13 liczby 1976, wynika podzielność przez 13 liczby 19565.

Odpowiedź:

Liczba 19565 jest podzielna przez 13.