|
|
Rozwiązanie zadania "TAJEMNICZE SUMY" |
|
Należy tak dobrać w pary litery A; B; C; D; E; F; G; H i I z cyframi 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 i 9 by prawdziwa była następująca suma: ABC+DEF=GHI i tak by a) liczba GHI była najmniejsza z możliwych; b) liczba GHI była największa z możliwych. Ponieważ 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 i 45 jest podzielne przez 9, więc ABC+DEF+GHI jest podzielne przez 9. Z uwagi na to, że ABC+DEF=GHI mamy ABC+DEF+GHI=GHI+GHI=2*GHI Wynika z tego, że GHI jest podzielne przez 9. a) Ponieważ G=A+D, więc G nie może być mniejsze od 3. |
|
Załóżmy więc, że G=3. Wówczas A=1 i D=2. Przy G=3 pod GHI może ukrywać się jedna z następujących liczb: 369; 378; 387 i 396. Gdyby GHI było liczbą 369 lub 396, to cyframi B; C; E i F mogły by być cyfry: 4; 5; 7 i 8. Wyjściowe równanie można by zapisać następująco: ABC+DEF=369 lub ABC+DEF=396, ale ABC+DEF=100(A+D)+10(B+E)+(C+F). Czyli 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=369, lub 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=396. Zgodnie z początkowym założeniem A+D=3 więc 10(B+E)+(C+F)=69 lub 10(B+E)+(C+F)=96. Z pierwszego równania wynikają następujące dwa równania: C+F=9 i B+E=6. Ponieważ z cyfr 4; 5; 7 i 8 nie uda się stworzyć takiej pary liczb by ich suma wynosiła 6, więc ten przypadek jest niemożliwy. Drugie z równań prowadzi do dwóch układów równań: I |
|
B+E=9 i C+ F=6 II B+E=8 i C+F=16. Zauważmy, że żaden z tych układów nie jest możliwy, bo w pierwszym przypadku nie uda się otrzymać sumy równej 6, a w drugim nie zbudujemy ani pierwszej ani drugiej sumy. Gdyby GHI było liczbą 378 lub 387, to cyframi B; C; E i F mogły by być cyfry: 4; 5; 6 i 9. Zgodnie z początkowym założeniem A+D=3 więc 10(B+E)+(C+F)=78 lub 10(B+E)+(C+F)=87. Z pierwszego równania wynikają następujące dwa układy równań: |
|
I C+F=8 i B+E=7. Ponieważ z cyfr 4; 5; 6 i 9 nie uda się stworzyć takiej pary liczb by ich suma wynosiła 7 lub 8. więc ten przypadek jest niemożliwy. Drugi układ równań to: B+E=6 i C+F=18. Żadnej z tych sum niestety nie otrzymamy z cyfr 4; 5; 6 i 9. Drugie równanie prowadzi do następujących dwóch układów równań: I B+E=8 i C+ F=7 II B+E=7 i C+F=17. |
|
Podobnie jak poprzednio, żaden z tych dwóch układów nie da się otrzymać. Załóżmy więc, że G=4. Wówczas A=1, a D=2 lub D =3. Mamy do sprawdzenia następujące przypadki: 459; 468; 486 i 495. Przy założeniu, że GHI = 459 lub GHI=495, pod literami: B; C; D; E i F ukrywają się cyfry: 2; 3; 6; 7 i 8. Wówczas ABC+ DEF=459 lub ABC+DEF=495, ale ABC+DEF=100(A+D)+10(B+E)+(C+F). Gdy ABC+ DEF=459, to C+F musi być równe 9. Oznacza, to, że C=2 i F=7, lub C=3 i F=6. W pierwszym przypadku D musi wynosić 3, a B+F=5, co jest niemożliwe. W drugim przypadku D = 2 i B+E=15, ale 6+8=14, czyli też nie możliwe. Gdyby ABC+DEF=495, to wówczas C+F=5 lub C+F=15. W pierwszym przypadku C=2, a F=3. Tak być nie może, bo jedna z tych liczb jest zarezerwowana dla litery D. Pozostaje więc przypadek C+F=15. Oznacza to ,że C=7 i F=8. Wówczas B+E=8, czyli B=2 i E=6 i oczywiście D=3. Mamy pierwsze rozwiązanie 127+368=495. Sprawdźmy jeszcze przypadek, w którym GHI=468 lub GHI=486. Wówczas dla liter B; C; D; E i F pozostają cyfry: 2; 3; 5; 7 i 9. Ponieważ ABC+ DEF=468, lub ABC+ DEF=486, mamy następujące dwa równania: 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=468, lub 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=486. Pierwsze z tych równań prowadzi do układu: C+F=8 |
|
B+E=6 D=3 które nie ma rozwiązania, lub układu C+F=8 B+E=16 D=2. |
|
Ze środkowego równania wynika, że B=7 i E=9 Wówczas C=3 i F=5. Poszukiwane rozwiązanie to: 173+295=468 b) Największą możliwą liczbą, jaką może być GHI to 981. Oznacza to, że 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=981. |
|
Równanie to prowadzi do poniższego układu równań: C+F=11 B+E=7 A+D=9 Pierwsza równość może mieć postać: 4+7=11; 5+6=11. Druga równość może mieć postać: 2+6=7; 3+4=7 Trzecia równość może mieć postać: 2+7=9; 3+6=9; 4+5=9. |
|
Łatwo zauważyć, że rozwiązaniem będzie: 235+746=981. Zajmijmy się teraz równaniem ABC+DEF=GHIJ. Jak poprzednio, można łatwo dowieść, że GHIJ jest podzielne przez 9. Łatwo też zauważyć, że G=1. Załóżmy na razie, że H=0. |
|
Wówczas GHIJ może być jedną z liczb: 1026; 1035; 1053; 1062. Sprawdźmy kolejno te cztery liczby. Gdy GHIJ=1026, to dla liter A; B; C; D; E; F pozostają cyfry: 3; 4; 5; 7; 8 i 9. Wyprowadzone poprzednio równanie będzie mieć postać: 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=1026. Wówczas C+F=16, czyli C=7 i F=9 B+E=11, więc B=3 i E=8 A+D=9, czyli A=4 i D=5. |
|
Szukana równość ma więc postać 437+589=1026 Poszukajmy teraz maksymalnej sumy ABC+DEF. 975+864=1839 Jednak, ta liczba nie dzieli się przez 9. Czyli największe GHIJ to 1836. Przy założeniu, że H=8 mamy jeszcze liczby 1827; 1809. Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb spełnia warunki zadania. |
|
Przeanalizujmy jak poprzednio następujące równanie 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=1836 Wynika z niego, że A+D=17, czyli A=8 i D=9. Jest to niemożliwe, bo 8 występuje w liczbie GHIJ. Oznacza to że H nie może wynosić 8. Niech więc H wynosi 7. Do sprawdzenia mamy następujące liczby: 1782; 1764; 1746; 1728 Dla wszystkich tych liczb A+D=17 lub A+D=16. Ponieważ 17 to 9+8, więc przy tej równości GHIJ może być równe 1764 lub 1746. |
|
B+E musi więc być równe: albo 6; albo 5; albo 4; albo 3. 6 jest jednak niemożliwe. Niech więc B+E=3, co oznacza, że B=0 i E=3. Wówczas C+F=16, co jest niemożliwe, bo największą cyfrą do wykorzystania jest 7. W takim razie, niech B+E=4. Wówczas C+F=6. Jednak 4 to 0+4, a 6 to 2+6, czyli B+E nie może być równe 4. Niech więc B+E=5, wówczas C+F=14, co jest niemożliwe. Oznacza to, że A+D nie może być równe 17. Niech więc A+D=16. Ponieważ 16 to 9+7, a cyfra 7 występuje w sprawdzanych liczbach więc jest to nie możliwe. Niech H wynosi 6. |
|
Do sprawdzenia mamy: 1692; 1683; 1674; 1638; 1629; 1620; 1602 Sprawdźmy liczbę 1692 Dla tej liczby C+F musi być równe 12 B+E=8 i A+D=16 Z ostatniego równania wynika, że A=7 i D=9. Jednak cyfra 9 została już wykorzystana, czyli liczba 1692 odpada. |
|
Sprawdźmy 1683. Teraz C+F musi wynosić 13, więc C=4 i F=9, co jest niemożliwe, bo 9 wystąpi na początku Sprawdzamy 1674. Teraz C+F=14. Będzie to spełnione dla 5+9, co jest niemożliwe. Sprawdzamy liczbę 1638 Łatwo sprawdzić, że A+D=15 (w liczbie występuje cyfra 3). Aby jednak A+D =15 to jedna z liczb musi być 6 lub 8. Jest to niemożliwe. |
|
Sprawdzamy 1629 A+D=15, czyli 8+7 B+E=12, co jest sprzeczne z poprzednim warunkiem. Sprawdzamy 1620 A+D=15 czyli 7+8 B+E=11 czyli 5+6 C+F=10 nie da się |
|
Sprawdzamy 1602 A+D=15 czyli 7+8 B+E=9 czyli 4+5 C+F=12 czyli 3+9; Szukana równość to 743+859=1602 |
|
|
|
|